折纸是一门陈旧而风趣的艺术，它也与数学有着奇妙的联络。“艺数”，便是科学与艺术的完美结合。
撰文 刘钝（清华大学科学史系特聘教授、我国科学院自然科学史研究所研究员）
前两篇文章别离介绍了数学家李国伟“数学文明览胜集”系列丛书中《人物篇》和《教育篇》若干内容，本文谈谈第三本《艺数篇》。
艺数是近年来我国台湾数学教育与遍及范畴常见的一个新名词，反映了人们在数学遍及活动中与艺术交流的尽力，眼下正出现越来越兴旺的趋势。
李国伟特别强调“艺术不会是异数”。按照他的见地，艺数至少包含以下三方面：1.以艺术办法展示数学内容；2.受数学思维或效果启示的艺术；3.数学家创造的艺术。
我很快乐前两点与自己蔓延的“科学与艺术”实践若相符合。若干年前，李国伟曾在我国科学院自然科学史研究所作了《折纸几许学》的讲演，当场做了几个演示，不由让人想起孩提年代做过的一些手艺游戏。他在讲演中展示的很多折纸作品的图画，令人叹服那些折纸大师巧夺天工的构思和难以想象的空间想象力。
通过书中《一张纸折出了天地》一文，李国伟介绍了折纸活动的数学内在及相关前史。
折纸艺术最早可追溯到日本神道祭祀中的纸质饰物，可是折法却多秘而不宣，现在存世的最古折纸专书《秘传千羽鹤折形》直到18世纪末才刊行。
记住幼时读过一个日本女孩的凄惨故事。受广岛爆破辐射患上严峻白血病的她，被人奉告只需折出1000只纸鹤就能康复，所以她就在病房里折起了纸鹤。工作传开之后，每天都有很多的纸鹤从全国各地寄来，可是终究小女子也未能打败病魔。
在中、日、韩等东亚国家，鹤是吉祥的动物，寄寓着健康、长命、平和与夸姣的希望。日本作家、诺贝尔文学奖得主川端康成有一部闻名的中篇小说就叫《千只鹤》。他在谈到创造动机时说，千只鹤的图画是日本传统美的一种标志，提笔时心底“好像有一种欣赏千只鹤在晨空或暮色之中飘动的神往”。
折纸与数学的根由，则要追溯到印度人鲁生达。好像遇到数学家哈代前的拉马努金相同，鲁生达仅仅一个业余研究数学的公务员，1893年他出书了小册子《折纸作为几许操练》（以下简称《操练》），内里除了处理一些直线形目标外，还提出了用折纸发生曲线上点的办法。除了《操练》之外，他还出书过一本关于初等立体几许方面的书。
德国数学大师克莱因热衷于数学遍及，1895年写了《初等几许的闻名问题》一书，内里对古希腊三大作图难题（倍立方、三等分恣意角、化圆为方）的不行解给出了简捷的证明。
在该书第五章《代数作图的一般景象》里，克莱因说到，在只允许运用没有刻度的直尺和圆规的欧几里得式作图之外，还有一种分外的简略的办法，便是依托折叠纸张到达相似意图，听说另一位德国数学家赫尔曼·维纳现已用这种办法制作出一系列正多边形。克莱因又以适当篇幅介绍了鲁生达的《操练》，折纸与几许学的议题才引发更多人的重视。
20世纪初，经美国数学史家毕曼与史密斯修改修订，《操练》在美国出书后取得了适当广泛的撒播。1931年，商务印书馆出书了《操练》的中译本，书名为《折纸几许学》，译者是陈岳生。现在国内可以找到的是日本折纸专家前川淳的同名作品。
《操练》在谈到几许学教学时说，从一般教科书的低劣图示去了解出题，不如引导学生折叠正确的几许图形，然后使出题的正确性具有更直观的形象。
他举了一个风趣的比如。仅靠未经严厉考察的条件，好像可以证明每个三角形都是等腰三角形的过错在于用到了某个在三角形内部的点，可是假如用纸来折出各条线段的话，就会清楚显现该点有必要在三角形之外，因而这个推论是不能成立的。
在《操练》中鲁生达使用纸上的折痕从正方形折出正三角形，夹攻折出正5边形、正6边形、正8边形、正9边形、正10边形、正12边形、正15边形等，这都是与尺规作图等价的几许学操练。此外，通过折痕加以推论还能推导出包含勾股定理在内的一些平面几许定理。
早在1936年，意大利女数学家贝洛西就用折纸法解出三次方程的根，适当于宣告折纸能处理倍立方问题。20世纪70年代，日本人阿部恒首要使用折纸处理了三等分恣意锐角问题；1984年，法国人尤斯丁则成功完结恣意钝角的三等分。
在欧几里得几许中，尺规作图的理论按照是几条公设，而对折纸几许学来说，是否也能总结出一些根本的准则呢？最早从理论上考虑折纸几许的便是上文说到的尤斯丁。
1992年，日裔意大利数学家藤田文章清晰概括出6条规矩，后来日本人羽鸟公士郎、美国人兰恩以及尤斯丁别离发现还有第7条规矩。兰恩进一步证明了这7条规矩现已构成齐备体系，也便是说任何折纸作图都能通过重复使用这7条规矩完结。它们也被称作折纸几许学的“藤田-羽鸟正义”。
这7条规矩是：1.给定点p1与p2，可以折出通过这两点的直线.给定直线.给定点p与给定直线L，可以终究靠p折出L的垂线以及直线折到与L重合，同时令折线.给定点p以及直线的垂线重合。
了解欧几里得几许学的读者马上就能看出它们与传统尺规作图的联系。例如，第1条规矩便是欧几里得的公设1（从任一点到另一恣意点可作直线（作一给定线（作一个给定角的平分线（通过直线外一点作该直线的垂线），等等。
假如引进坐标系，从代数学的视点来看，使用“藤田-羽鸟正义”有才能解三次方程，而尺规作图只能处理二次方程。因而，折纸有或许处理某些欧几里得体系中绝无或许解出的作图难题。比如前述古希腊三大作图难题之一的三等分恣意角，可用折纸办法处理，这就展示出了折纸作图胜于尺规作图之处。
“藤田-羽鸟正义”体系假定操作是在平面（即一张完美的纸）上完结的，而且一切折叠都是线性的。
李国伟在书中说到了几许学以外的一些零散趣闻，例如上面说到的那个给出齐备性证明的兰恩，本是美国加州理工学院喷气推动实验室的科学家，后来辞去职务成为一名专业的折纸家。他编写了一套计算机程序，可以在必定程度上帮忙规划极为杂乱的折纸，他还帮忙美国加州劳伦斯伯克利国家实验室，使用折纸概念处理了可折叠的太空望远镜与太阳能板问题。
法国折纸名家埃里克·乔塞尔是专业艺术家，他用纸折出的爵士乐队，每个人物都绘声绘色，令人拍案叫绝。出生于1981年的日本人神谷哲史，早便是享誉世界的折纸大师，多次在日本电视比赛中斩获桂冠。
至于折纸几许理论研究的前驱藤田文章，1924年生于日本，后来参加意大利国籍。他在意大利帕多瓦大学取得物理学博士学位，除了折纸外，还从事地质学与核物理学。
藤田在世界折纸界享有很高的威望，致力于该范畴东方与西方、折纸数学与折纸艺术间的交流。1989年12月在意大利费拉拉市，他成功安排举行了初次“科学、数学与教育的折纸世界会议”（The International Meeting on Origami in Science，Mathematics and Education，简称OSME），该会议尔后每隔四五年举行一次。会议举行的时刻与地址别离是：第二届，1994年，在日本滋贺县大津市；第三届，2001年，在美国加州蒙特雷；第四届，2006年，在美国加州帕萨迪纳；第五届，2010年，在新加坡；第六届，2014年，在东京；第七届，2018年，在牛津。
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